CHAPITRE 7    

MULTIPLICATION       

        

I)            Définition :

A)  Multiplication de nombres entiers :

Rappel :

Quand on a une collection d'objets, on peut la doubler, la tripler, ...

Cette opération correspond à l'opération de multiplication de nombres entiers. Cette opération permet de calculer le produit de deux nombres.

Exemple :

                   154

            ✕       12                                                  154 ✕ 12 = 1848

                   308

          +     1540

                 1848

154 et 12 sont les facteurs et 1848 est le produit.

Remarque :

154 ✕ 12 signifie que l'on prend le nombre 154, 12 fois.

On peut écrire :

154 ✕ 12 = 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 + 154 = 1848                                                                         

B)  Multiplication de nombres décimaux :

Vidéo :

Pour calculer le produit de facteurs décimaux :

1)    On pose la multiplication.

2)   On l’effectue sans tenir compte des virgules.

3)   Dans chaque facteur, on compte le nombre de chiffres après la virgule, puis on calcule la  somme de ces deux nombres. Cette somme correspond au nombre de chiffres après la virgule du résultat.

4)   On place alors la virgule dans le résultat.

Exemple :

Poser et effectuer la multiplication 7,86 ✕ 3,4.

          7, 8 6                  On pose la multiplication sans tenir compte des virgules.

       ✕   3, 4 

        3 1 4 4                  Le facteur 7,86 a deux chiffres après la virgule.
 + 2 3 5 8 0                 Le facteur 3,4 a un chiffre après la virgule.

    2 6,7 2 4                  2 + 1 = 3 : le produit a donc trois chiffres après la virgule.

Ainsi 7,86 ✕ 3,4 = 26,724.

Propriétés :

1) Un nombre ne change pas quand on le multiplie par le nombre 1.

2) Quand on multiplie un nombre par le nombre 0, le résultat du produit est nul.

3) Un produit ne change pas si on modifie l'ordre des facteurs.

4) Un produit ne change pas si on regroupe des facteurs.

II)            Calculs habiles en ligne

Pour calculer rapidement les produits de plusieurs facteurs, on utilise les propriétés d'associativité et de commutativité de la multiplication en regroupant les facteurs astucieusement.

Exemple :

On regroupe les facteurs dont le produit est un nombre simple.

On utilise la méthode de calcul précédente.
25 ✕ 12 ✕ 4 = 

25 ✕ 12 ✕ 4 = 25 ✕ 4 ✕ 12

                      = 100 ✕ 12

                      = 1200

III)            Ordre de grandeur :

Pour obtenir un ordre de grandeur d’un produit, on remplace chacun des facteurs par un nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental. Puis on effectue la multiplication avec ces nombres. On obtient ainsi un résultat proche du résultat exact. Ce nombre est appelé un ordre de grandeur du produit.

Exemple :

Déterminer un ordre de grandeur de : 20,11 × 9,98.

20,11 est proche de 20.

9,98 est proche de 10.

On peut calculer mentalement 20 × 10 = 200.

Un ordre de grandeur de 20,11 × 9,98 est donc 200. La valeur exacte étant de 200,6978.

IV)            Aire :

Définitions :

► Une ligne qui se referme sur elle-même délimite une surface ;

►  La mesure de la surface s’appelle l’aire ;

► Pour connaître l’aire d’une figure, on calcule la quantité d’unités d’aires qui recouvrent  cette surface.

Exemple :

La partie coloriée en rouge correspond à l’aire du polygone ABCDEFG.

L’unité d’aire légale est le mètre carré (noté m²)

1 m² correspond à l’aire d’un carré de côté 1 m.

Vidéo :

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CHAPITRE 6   

AUTOUR DE LA DEMI-DROITE

         

I)            Demi-droite :

Définition, notations :

Une demi-droite est la partie d'une droite située d'un seul côté d'un point appelé origine. 
Elle est donc finie d'un côté, infinie de l'autre et on ne peut pas la dessiner entièrement. 📏

Exemple :

On a dessiné la demi-droite d’origine A passant par le point B. 

On la note [AB).

II)            Angle :

      A)            Notion d'angle :

Définition :

Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. Cette origine est appelé le sommet de l'angle. Les demi-droites sont appelés les côtés de l'angle.

Illustration :

Caractéristiques de l'angle bleu :         ► sommet : B ;         ► côtés de l'angle : [BA) et [BC) ;         ► nature de l'angle : aigu ;

i	╱╲		╱╲
Cet angle se nomme	ABC	ou	CBA	.

Remarque: Un angle se désigne toujours par trois lettres.

      B)            Mesure d'un angle :

L'unité de mesure des angles est le degré (noté °). L'instrument de mesure est le rapporteur. 

Voir vidéo :

     C)            Classification des angles :

         1)    Angle rentrant, angle saillant :

2)    Exemples d'angles saillants :

Un angle saillant peut être :

Vidéo :

      D)            Reproduction d'un angle :

Vidéo :

   E)            Angles adjacents :

Définition:

On dit que deux angles sont adjacents lorsque :

·         ils ont le même sommet ;

·         ils ont un côté commun ;

·         ils sont de part et d'autre de ce côté commun.

Exemple:

 

 

 

 

 

 

 Les angles CÂD et CÂB sont des angles adjacents.

Vidéo (Définition et construction d'une bissectrice) :

 

 

 

 

Chapitre 6 -Version pdf

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CHAPITRE 5  

ADDITION, SOUSTRACTION

     

I)            Définitions :

A)  Addition :

Ajouter un objet à une "collection" correspond à l'opération d'addition de nombres entiers. Cette opération permet de calculer la somme de deux nombres.

Exemple :   325

                +   58                                325 + 58 = 383

                   383

325 et 58 sont des termes et 383 est la somme.

Propriétés

1) Un nombre ne change pas quand on lui ajoute le nombre 0. On dit que c'est l'élément neutre.

2) Une somme ne change pas si on modifie l'ordre des termes. On dit que l'addition est commutative.

3) Une somme ne change pas si on regroupe des termes. On dit que l'addition est associative.

B)  Soustraction :

Définition :

Enlever un objet à une "collection" correspond à l'opération de soustraction de nombres entiers. Cette opération permet de calculer la différence de deux nombres.

Exemple :   754

                –   35                                754 – 35 = 719

                   719

754 et 35 sont des termes 754 – 35 et 719 est la différence.

Propriété :

Un nombre ne change pas quand on lui soustrait le nombre 0. Le nombre 0 n'a aucune influence pour la soustraction : on dit que c'est l'élément neutre.

Attention : la soustraction n'est pas commutative. (Contre exemple : 18 – 5 = 13   mais on ne sait pas calculer 5 – 18)

II)            Calculs habiles en ligne :

A)  Addition :

Les additions peuvent être effectuées sans être posées  lorsqu’elles sont « simples » :

16,23 + 902,14 = 918,37

Ou même un peu plus compliquées :

38,64 + 102,1 = 140, 74

Mais dès que l’on doute du résultat, on pose l’opération :

   038,64

 + 102,10

   140, 74

B) Soustraction :

Comme pour les additions, certaines soustractions peuvent être effectuées sans être posées  lorsqu’elles sont « simples » :

19,5 - 7,46 = 12,04

Mais dès que l’on doute du résultat, on pose l’opération :

   19,50

- 07,46

  12, 04

 Vidéo :

III)           Ordre de grandeur :

Définition :

Calculer l’ordre de grandeur d’un résultat, c’est trouver une valeur « proche » du résultat sans effectuer de longs calculs.

Remarque :

On utilise l’ordre de grandeur pour :
► prévoir un résultat : avoir une idée de la réponse avant d’effectuer le calcul.
► vérifier un résultat après avoir effectué le calcul.

Exemple :

Ordre de grandeur d’une différence : 88,57 – 41,643

88,57 est proche de 90.

41,643 est proche de 40.

Cette différence est donc proche de 90 – 40, c'est-à-dire de 50.

50 est un ordre de la différence 88,57 – 41,643.

Pour être encore plus précis (mais en effectuant des calculs un peu plus compliqués) :

88,57 est proche de 89.

41,643 est proche de 42.

Cette différence est donc proche de 89 – 42, c'est-à-dire de 47.

Le résultat exact de la soustraction est 46,927.

IV)            Périmètre :

Définition :

Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.

Définition :

Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.

Vidéo :

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CHAPITRE 4  

AUTOUR DU SEGMENT

        

I)    Segment :

Définition, notations :

Soient A et B deux points distincts. La ligne qui joint les points A et B est appelée "segment AB" et est notée [AB]. Un segment a deux extrémités.

On a dessiné le segment [AB].

II)            Longueur d’un segment :

A)  Notion de longueur d’un segment :

Définition :

Soient A et B deux points distincts, la longueur du segment [AB] est notée AB. On la mesure grâce à l'instrument de géométrie appelé règle graduée.

📏

Exemple :

On note AB = 3,5 cm.

B)  Segment de même longueur :

Définition :

On dit que deux segments sont de même longueur si la longueur entre les deux extrémités de chaque segment est la même.

Exemple :

Les segments [AB] et [CD] sont de même longueur, celle-ci étant de 4,5 cm.

Vidéo :

III)            Milieu d’un segment :

Définition :

Soient A et B deux points distincts. Le milieu du segment [AB] est le point I de ce segment tel que AI = IB.

Attention : On doit avoir :

• I appartient au segment [AB]
• AI = IB

Exemple :

Ici, N est le milieu du segment [AB]. NA = NB = AB : 2 = 2,5 cm.

Remarque : 

Le milieu d’un segment est le point qui partage ce segment en deux segments de même longueur.

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CHAPITRE 3  

ORDRE   

       

I)       Abscisse d’un point :

Pour graduer une demi-droite d’origine un point O, il faut choisir une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir du point O.

Définition :

Chaque point d’une demi-droite graduée peut être repéré par un nombre appelé l’abscisse de ce point.

Vidéos :

Introduction à la notion d'abscisse d'un point sur une demi-droite graduée :

Déterminer l'abscisse d'un point sur une demi-droite graduée :

II)         Comparer des nombres décimaux :

A) Symbole d’inégalité :

Exemples :

5,40 = 5,4	5,4〈 8,6	8,6 〉4,2
5,4 est égal à 5,4	5,4 est plus petit que 8,6	8,6 est plus grand que 4,2
	ou 5,4 est inférieur à 8,6	ou 8,6 est supérieur à 4,2

B) Comparer deux nombres décimaux:

Définition :

Comparer deux nombres, c’est montrer qu’ils sont égaux, ou que l’un d’eux est plus grand que l’autre.

Méthode :

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord leurs parties entières.                 

Si leurs parties entières sont égales, on commence par comparer leurs chiffres des dixièmes, puis si nécessaire leurs chiffres des centièmes…etc

Vidéo :

Définition :

- Ranger des nombres dans l’ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.

- Ranger des nombres dans l’ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.

Exemple :

Ordre croissant : 12,4〈 18,39〈 18,4

Ordre décroissant : 30,2 〉27,1 〉27,05

Définition :

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que celui-ci.

Exemple :

Voici un encadrement de 32,45 :

30〈 32,45〈 40

On lit : 32,45 est compris entre 30 et 40.

Remarque :

On peut toujours intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux donnés.

C) Valeurs approchées :

Exemple :

36,284 est compris entre les deux entiers consécutifs 36 et 37.

On dit que l’encadrement de 36, 284 à l’unité près est :

36〈 36,284〈 37 

36 est la valeur approchée par défaut de 36,284 à l’unité près.
37 est la valeur approchée par excès de 36,284 à l’unité près.

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CHAPITRE 2  

AUTOUR DE LA DROITE

                  

Rappel :

Sur une figure de géométrie, on représente un point comme ceci :   ✕

Ceci est le point A :                ✕ A

 

I)            Droite :

Définition, notations :  

Une droite est une ligne infinie.  On ne peut en dessiner qu’une partie, le reste on doit l’imaginer. Une droite n’a donc pas de limite.

📏

On note :

La droite (d) :		La droite (AB) :

                                                                    

Propriété :

Par un point, il passe une infinité de droites. 

Remarques :

- Les droites représentées ci-dessus ont un point d'intersection commun : le point A. On dit que ces droites sont concourantes en A.
- Dans le cas où seules deux droites ont un point d'intersection commun, on dit que les droites sont sécantes en ce point.

Propriété (axiome d’Euclide) :

Par deux points A et B passe une droite et une seule. On la note (AB).

II)           Appartenance ou non-appartenance :

Définition :

On dit qu'un point appartient à la droite (AB) s’il est sur la droite ou si la droite passe par ce point.


Exemple et notation :

H est sur la droite (AB), on note H ∈ (AB) et on lit : " H appartient à la droite (AB)".

F n'est pas sur la droite (AB), on note F ∉ (AB) et on lit : " F n'appartient pas à la droite (AB)".

Vidéo :

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