CHAPITRE 1
ARITHMETIQUE
I) Divisibilité :
a) Rappels sur la division
euclidienne :
Division euclidienne de 165 par 7 :
On
vérifie que : 165 = 7 × 23 + 4
et 4 < 7
b) Rappels sur les diviseurs :
Cas particulier où le
reste est nul :
c) Recherche de tous les diviseurs :
Un nombre est dit premier s’il
n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
3 n’admet que 2 diviseurs : 1 et lui-même. 3 est donc un
nombre premier.
Autres exemples de nombres premiers : 2 ; 5 ;
7 ; 9 ; 11 ; 57 …
15 n’est pas un nombre premier car il admet plus de 2
diviseurs : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
II) PGCD :
a) Définition :
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Liste de tous les diviseurs de 16 :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Liste de tous les diviseurs de 40 :
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ;
20 ; 40
Le plus
grand diviseur commun de 16 et 40 est 8.
On note PGCD(16 ;40) = 8.
b) Algorithme de calcul :
On
veut calculer le PGCD de 1449 et de 2277 en évitant de chercher tous
les
diviseurs (trop
long).
Le dernier résultat non nul est le PGCD. Dans notre exemple, PGCD(2277 ;
1449) = 207.
c)
Nombres premiers entre
eux :
Deux nombres
sont premiers entre eux si leur PGCD est 1,
autrement dit,
deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont qu’un diviseur
commun : 1
Exemples :
-
Les nombres 15 et 22 sont premiers
entre eux car PGCD(16 ; 40) = 1.
-
Les nombres
16 et 40 ne sont pas premiers entre eux car PGCD(16 ; 40) = 8.
III) Fraction irréductible :
Une
fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers
entre eux.
Exemple :
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