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  CHAPITRE 1  

ARITHMETIQUE

       

I)       RAPPELS :

Division euclidienne :

Division euclidienne (cas où le reste est nul) :
Vidéo :

  Exemple :

On a : 161 = 7 × 23

On dit que :

- 161 est un multiple de 7 et 23 

- ou que 161 est divisible par 7 et 23.

- ou que 161 est dans la table de 7 et de 23

- ou que 7 et 23 sont des diviseurs de 161

- ou que 7 et 23 divisent 161.

Critères de divisibilité :

Un nombre entier est :

• divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
• divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
•  divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

II)       NOMBRES PREMIERS :

Définition :

Un nombre entier est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même.

Exemples : 

13 est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 13.

15 n'est pas un nombre premier car il admet plus de 2 diviseurs (1 ; 3 ; 5 ; 15).

Propriété :

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

Exemples : 

42 = 2 ✕ 3 ✕ 7           (2 ; 3 et 7 sont des nombres premiers)

Vidéos :

Méthode : 

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il faut d'abord chercher le plus petit nombre premier qui divise notre nombre, on fait la division de notre nombre par ce nombre premier et si le quotient obtenu est différent de 1, on recommence jusqu'à obtenir pour quotient 1.

Exemple :
On veut décomposer 504 en un produit de facteurs premiers.
504 : 2 = 252 ; 
252 : 2 = 126 ; 
126 : 2 = 63 ; 
63 : 3 = 21 ; 
21 : 3 = 7 ; 
7 : 7 = 1.          donc 504 = 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 3 ✕ 7

Vidéos (trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers) :

III)     FRACTION IRREDUCTIBLE :

Définition :

Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1.

Exemple :

	7	est irréductible car 7 et 10 n'ont qu'un seul diviseur commun : 1.
	10

	12	n'est pas irréductible car 12 et 15 ont plusieurs diviseurs communs : 1 et 3.
	15

Méthode pour rendre une fraction irréductible :
Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en un produit de facteurs premiers, puis on simplifie cette fraction par tous les facteurs communs.

Exemple :

On veut rendre irréductible la fraction	204	.
	72

On décompose 204 et 72 en produit de facteurs premiers :
204 = 2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 17      et      72 = 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 3 

Ainsi :	204	=	2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 17	=		17	=	17	.
	72		2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 3			2 ✕ 3		6

Vidéo :

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